Examen de grenouilles du 5/10/23

 

 

L’évolution d’une population de grenouilles dans un étang est un système dynamique complexe. Pour le simplifier disons que la population de grenouille
s
peut être symbolisée par une suite
( g n )
, qui donne la population l’année
2020 + n
.
 

En 2020, on dénombre 327 grenouilles dans l’étang.

Chaque année, 10% des grenouilles se font manger par les hérons, et la population augmente de 100 petites grenouilles (têtards).

1) Calculer
g 0 , g 1 , g 2 , g 3
.
(
2
points)
 
2) Exprimer
g n + 1
en fonction de
g n
.
(2 points)
 
3) Démontrer par récurrence que g n ⩽ g n + 1 ⩽ 1000 . (3 points)
4) En déduire que
g n
converge.
(1 point)
 

5) Ecrire une fonction python qui prend en paramètres un seuil et renvoie l’année où la population de grenouille dépasse 900 individus. Donner le résultat trouvé. (3 points)

6
) Soit
( h n )
la suite définie sur
ℕ
par
h n = g n − 1000
.
 
Montrer que
( h n )
est géométrique.
(3 points)
 
7
) Exprimer
( h n )
en fonction de
n
, puis
( g n )
en fonction de
n
.
(
3
points)
 
8) Calculer la limite de ( g n ) . (2 points)

9) Quels peuvent être les différentes utilisations de ces résultats? (1 point)